已知AB是圆O的切线.切点为B.直线AO交圆O于C.D两点.CD=2.∠DAB=30°.动点P在直线AB上运动.PC交圆O于另一点Q．(1)当点P运动到使Q.C两点重合时.求AP的长,(2)点P在运动过程中.有几个位置使△CQD的面积为$\frac{1}{2}$?(3)当△CQD的面积为$\frac{1}{2}$.且Q位于以CD为直径的上半圆.CQ＞QD时.求AP� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为$\frac{1}{2}$？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为$\frac{1}{2}$，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

分析（1）如图1，利用切线的性质可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中运用三角函数就可解决问题；
（2）易得点Q到CD的距离为$\frac{1}{2}$，结合图形2，即可解决问题；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，连接QD，如图3，易证△CNQ∽△QND，根据相似三角形的性质可求出CN．易证△PMC∽△QNC，根据相似三角形的性质可得PM与CM之间的关系，由∠MAP=30°即可得到PM与AM之间的关系，然后根据AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．

解答解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．
∵∠DAB=30°，OB=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴AO=2OB=2，AC=AO-CO=2-1=1．
当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，
则有∠ACP=90°，
∴cos∠CAP=$\frac{AC}{AP}$=$\frac{1}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得AP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）有4个位置使△CQD的面积为$\frac{1}{2}$．
提示：设点Q到CD的距离为h，
∵S_△CQD=$\frac{1}{2}$CD•h=$\frac{1}{2}$×2×h=$\frac{1}{2}$，
∴h=$\frac{1}{2}$．
由于h=$\frac{1}{2}$＜1，结合图2可得：
有4个位置使△CQD的面积为$\frac{1}{2}$；

（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．
∵S_△CQD=$\frac{1}{2}$CD•QN=$\frac{1}{2}$×2×QN=$\frac{1}{2}$，∴QN=$\frac{1}{2}$．
∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，
∴∠CQN=90°-∠NQD=∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴$\frac{QN}{DN}$=$\frac{NC}{NQ}$，
∴QN²=CN•DN，
设CN=x，则有$\frac{1}{4}$=x（2-x），
整理得4x²-8x+1=0，
解得：x₁=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
∵CQ＞QD，∴x=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{NC}{QN}$=2+$\sqrt{3}$．
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC=∠QNC=90°．
∵∠MCP=∠NCQ，
∴△PMC∽△QNC，
∴$\frac{MC}{MP}$=$\frac{NC}{NQ}$=2+$\sqrt{3}$，
∴MC=（2+$\sqrt{3}$）MP．
在Rt△AMP中，
tan∠MAP=$\frac{MP}{AM}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=$\sqrt{3}$MP．
∵AC=AM+MC=$\sqrt{3}$MP+（2+$\sqrt{3}$）MP=1，
∴MP=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，
∴AP=2MP=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．