Question

如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．
（1）求证：OD∥BE；
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OE，由于AM、DE是⊙O的切线，∠OAD=∠OED=90°，那么DA=DE，而OD=OD，于是可证△AOD≌△EOD，从而有∠AOD=∠EOD=∠AOE，根据圆周角定理有∠ABE=∠AOE，那么∠AOD=∠ABE，从而有OD∥BE；
（2）连接OF，同（1）证明全等一样，易证△OCE≌△OCB，那么∠OCB=∠OCE，而AM∥BN，于是可得∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，再由（1）得∠ADO=∠EDO，易证∠EDO+∠OCE=90°，从而可知△OCD是直角三角形，而F是斜边上的中点，于是OF=CD．
解答：解：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，
∵∠ABE=∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE；

（2）OF=CD．
理由：连接OC，
∵BC、CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCE，
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，
即∠EDO+∠OCE=90°，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴OF=CD．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、平行线的判定、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键是连接OE、OC，构造直角三角形．