Question

求使关于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数的k值．

Answer 1

分析：分k=0和k≠0两种情况讨论．
当k=0时，所给方程为x-1=0，有整数根x=1．
当k≠0时，所给方程为二次方程，根据根与系数的关系即可求出k的值，然后用△＞0验证k是否符合题意即可．

解答：解：分k=0和k≠0两种情况讨论．
当k=0时，所给方程为x-1=0，有整数根x=1．
当k≠0时，所给方程为二次方程．
设两个整数根为x₁和x₂，则有

x1+x2=- k+1 k =-1- 1 k ，① x1x2= k-1 k =1- 1 k ．②

由①-②得
x₁+x₂-x₁x₂=-2?（x₁-1）（x₂-1）=3．
=1×3=（-1）×（-3）．
有

x1-1=1 x2-1=3

x1-1=-1 x2-1=-3

x1-1=3 x2-1=1

x1-1=-3 x2-1=-1.

故x₁+x₂=6或x₁+x₂=-2，
即-1-

1

k

=6或-1-

1

k

=-2．
解得k=-

1

7

或k=1．
又△=（k+1）²-4k（k-1）=-3k²+6k+1，当k=-

1

7

或k=1时，都有△＞0．
所以，满足要求的k值为
k=0，k=-

1

7

，k=1．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是运用根与系数的关系根据题意进行求解，不要忽视考虑k=0的情况．