Question

15．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠AOF=∠COE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=$\frac{CD}{CF}$，∠DCF=30°，
∴CF=$\frac{CD}{cos30°}$=2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．