Question

如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：如图，作辅助线，首先求出两个扇形的圆心角、半径，进而求出两个扇形的面积和两个三角形的面积，运用阴影部分的面积与上述面积之间的关系，即可解决问题．

解答：解：如图，连接O₁O₂，O₁A，O₁B，O₂A，O₂B；
则O₁O₂垂直平分AB，而AB=120，
∴AC=BC=60；
由题意得：∠AO1B=

1

6

×360°=60°，
∠AO2B=

1

4

×360°=90°；
∵O₁A=O₁B，O₂A=O₂B，
∴△O₁AB，△O₂AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，
∴O₁A=AB=120，O2C=

1

2

AB=60；O2A=

2

O2C=60

2

∴S扇形O1AB=

60π•1202

360

=2400π，S扇形O2AB=

90π•602×2

360

=1800π，
S△AO1B=

1

2

×1202×sin60°=3600

3

，S△AO2B=

1

2

×120×60=3600，
∴S_阴影=2400π+1800π-3600

3

-3600
=4200π-3600-3600

3

（cm²）．

点评：该命题以圆的内接正多边形为载体，以考查正多边形的性质、相交两圆的性质、扇形的面积公式等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、解答．