题目内容
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=4．E是直线AD上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．连接BF．
（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证：BE=EF．
②设DE=x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍？若存在，直接写出DE的长；若不存在，请说明理由．
（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
①求证：BE=EF．
②设DE=x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍？若存在，直接写出DE的长；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①证明：在AB上截取AG=AE，连接EG．通过ASA证明△BGE≌△EDF，根据全等三角形的性质即可得出BE=EF；
②先在Rt△ABE中运用勾股定理求出BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，再根据三角形面积公式，可得y关于x的函数解析式；
（2）存在．分Ⅰ）当点E在线段AD上时；Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时；Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时；三种情况讨论即可求解．
②先在Rt△ABE中运用勾股定理求出BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，再根据三角形面积公式，可得y关于x的函数解析式；
（2）存在．分Ⅰ）当点E在线段AD上时；Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时；Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时；三种情况讨论即可求解．
解答：（1）①证明：如图1，在AB上截取AG=AE，连接EG，则∠AGE=∠AEG．
∵∠A=90°，∠A+∠AGE+∠AEG=180°，
∴∠AGE=45°．
∴∠BGE=135°．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
又∵∠C=45°，
∴∠D=135°，
∴∠BGE=∠D．
∵AB=AD，AG=AE，
∴BG=DE．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，
∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
∠A=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△BGE与△EDF中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF；
②解：在Rt△ABE中，∵∠A=90°，AB=AD=4，DE=x，
∴BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，
∵BE=EF，
∴y=
BE•EF=
BE2=
×[（4-x）2+42]=
，
故y关于x的函数解析式为：y=
，
此函数的定义域为：0＜x＜4；
（2）解：直线AD上存在一点E，能够使△BEF是△ABE面积的3倍．理由如下：
分三种情况：
Ⅰ）当点E在线段AD上时，如图1．
∵S△ABE=
AB•AE=
×4×（4-x）=8-2x，S△BEF=
，
∴
=3×（8-2x），
整理，得x2+4x-16=0，
解得x=-2±2
（负值舍去），
则DE=-2+2
；
Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时，如图2，延长AB到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
∵AE∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∴∠EBC+90°=∠AEB+90°，即∠GBE=∠DEF．
在△BGE与△EDF中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S△ABE=
AB•AE=
×4×（4+x）=8+2x，S△BEF=
BE2=
×[（4+x）2+42]=
，
∴
=3×（8+2x），
整理，得x2-4x-16=0，
解得x=2±2
（负值舍去），
则DE=2+2
；
Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时，如图3，延长BA到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
在△BGE与△EDF中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S△ABE=
AB•AE=
×4×（x-4）=2x-8，S△BEF=
BE2=
×[（x-4）2+42]=
，
∴
=3×（2x-8），
整理，得x2-20x+80=0，
解得x=10±2
，
则DE=10±2
；
综上所述，直线AD上存在点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，此时DE的长为2
-2或2
+2或10±2
．
∵∠A=90°，∠A+∠AGE+∠AEG=180°，
∴∠AGE=45°．
∴∠BGE=135°．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
又∵∠C=45°，
∴∠D=135°，
∴∠BGE=∠D．
∵AB=AD，AG=AE，
∴BG=DE．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，
∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
∠A=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△BGE与△EDF中，
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∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF；
②解：在Rt△ABE中，∵∠A=90°，AB=AD=4，DE=x，
∴BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，
∵BE=EF，
∴y=
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| x2-8x+32 |
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故y关于x的函数解析式为：y=
| x2-8x+32 |
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此函数的定义域为：0＜x＜4；
（2）解：直线AD上存在一点E，能够使△BEF是△ABE面积的3倍．理由如下：
分三种情况：
Ⅰ）当点E在线段AD上时，如图1．
∵S△ABE=
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| x2-8x+32 |
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∴
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整理，得x2+4x-16=0，
解得x=-2±2
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则DE=-2+2
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Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时，如图2，延长AB到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
∵AE∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∴∠EBC+90°=∠AEB+90°，即∠GBE=∠DEF．
在△BGE与△EDF中，
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∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S△ABE=
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整理，得x2-4x-16=0，解得x=2±2
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则DE=2+2
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Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时，如图3，延长BA到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
在△BGE与△EDF中，
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∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
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整理，得x2-20x+80=0，
解得x=10±2
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则DE=10±2
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综上所述，直线AD上存在点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，此时DE的长为2
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点评：本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定的难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．
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