题目内容

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知OA= $数学公式$ ，tan∠AOC= $数学公式$ ，点B的坐标为（ $数学公式$ ，m）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②利用图象，写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围；
③求△AOB的面积．

解：（1）如图，

过A作AE⊥x轴于E点，
在Rt△OAE中，tan∠AOC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即OE=2AE，
∵OA²=OE²+AE²，OA= $\text{[math]}$ ，
∴4AE²+AE²=5，解得AE=1，
∴OE=2，
∴A点坐标为（-2，1），
把A（-2，1）代入反比例函数 $\text{[math]}$ 得k=-2，
∴反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ；
把B（ $\text{[math]}$ ，m）代入y=- $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ m=-2，解得m=-4，
∴点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-4），
把A（-2，1）、B（ $\text{[math]}$ ，-4）分别代入y=ax+b得，-2a+b=1， $\text{[math]}$ a+b=-4，解得a=-2，b=-3，
∴一次函数的解析式为y=-2x-3；

（2）一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为x＞-2或0＜x＜ $\text{[math]}$ ；

（3）对于y=-2x-3，令x=0，则y=-3，
∴D点坐标为（0，-3），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD= $\text{[math]}$ ×3×2+ $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过A作AE⊥x轴于E点，根据正切的定义得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即OE=2AE，然后根据勾股定理有OA²=OE²+AE²，而OA= $\text{[math]}$ ，可求得OE=1，从而确定A点坐标为（-2，1），把A（-2，1）代入反比例函数 $\text{[math]}$ 求出k，即确定反比例函数的解析式；接着把B（ $\text{[math]}$ ，m）代入反比例函数解析式中确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察图形得到当x＞-2或0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，一次函数值的图形在反比例函数图形的上方；
（3）先确定D点坐标，然后利用S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD和三角形面积公式进行计算即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：先根据条件确定点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再运用反比例函数的性质解决问题．