Question

【题目】定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则BD=　 　；

②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是　 　；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）

（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是　 　．

Answer 1

【答案】（1）（2）（5，3），（3，5）（3）；；

【解析】试题分析：（1）利用准矩形的定义和勾股定理计算，再根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；

（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可；

（2）分三种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法．

试题解析：（1）①∵∠ABC=90，

∴BD=，

故答案为，

②∵A（0，3），B（5，0），

∴AB==6，

设点P（m，n），A（0，0），

∴OP==6，

∵m，n都为整数，

∴点P（3，5）或（5，3）；

故答案为P（3，5）或（5，3）；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，

∴∠EAF+∠EBC=90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF=90°，

∴∠EBF=∠BCF，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=CF，

∴四边形BCEF是准矩形；

（3）；；

∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，

∴BC=2，AC=4，

准矩形ABCD中，BD=AC=4，

①当AC=AD时，如图1，作DE⊥AB，

∴AE=BEAB=1，

∴DE=，

∴S准矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE

=DE×AE+（BC+DE）×BE

=×+（2+）×1

=+；

②当AC=CD时，如图2，

作DF⊥BC，

∴BD=CD，

∴BF=CF=BC=，

∴DF=，

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

=FC×DF+（AB+DF）×BF

=××+（2+）×

=+；

③当AD=CD，如图3，

连接AC中点和D并延长，连接BG，过B作BH⊥DG，

∴BD=CD=AC=4，

∴AG=AC=2，

∵AB=2，

∴AB=AG，

∵∠BAC=60°，

∴∠ABG=60°，

∴∠CBG=30°

在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，

∴BH=1，

在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，

∴BM=，HM=，

∴CM=，

在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，

∴DH=，∴DM=DH﹣MH=﹣，

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S四边形AMCD

=BM×AB+AC×DM

=××2+×4×（﹣）

=2；

故答案为；；．