题目内容

如图，PAB，PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径，AC∥OD．
（1）求证：CD=______；（先填后证）
（2）若 $数学公式$ ，试求 $数学公式$ 的值．

解：（1）求证：CD=BD，
证明：∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴CD=BD．

（2）∵AC∥OD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，CD=BD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵AB=2AO，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设AB=5k，BD=3k，
∴AD=4k．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于AC∥OD，OA=OD，故∠1=∠2，∠2=∠3．即∠1=∠3，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，CD=BD；
（2）由于AC∥OD，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，CD=BD，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因为AB=2AO，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，AD²+BD²=AB²，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设AB=5k，BD=3k，AD=4k，代入代数式即可求解．
点评：本题考查的是平行线的性质及圆周角定理，等腰三角形的，比较复杂，是一道具有综合性的题目．