Question

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得△ABC和△A'C'D，如图1所示．将△A'C'D的顶点A'与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A'）、B在同一条直线上，如图2所示．
（1）观察图可知：与BC相等的线段是

AD（A′D）

，∠CAC'=

90°

；

（2）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
（3）如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．若AB=kAE、AC=kAF，探究EP与FQ之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质、旋转的性质填空；
（2）由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ；
（3）通过相似三角形△AEP∽△BAG的对应边成比例知：

EP

AG

=

AE

AB

=

1

k

，则易证△FQA∽△AGC，所以

FQ

AG

=

AF

AC

=

1

k

．故EP=FQ．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴如图1，在Rt△ADC与Rt△ABC中，

AD=BC AC=CA

，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
即如图2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，
∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．
又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，
∴∠DA′C′+∠CAB=90°，
∴∠CAC′=90°．
故答案分别是：AD（A′D）；90°；

（2）如图3，∵EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠BGA=90°．
又∵∠EAB=90°，
∴∠PEA=∠GAB，∠PAE=∠GBA（同角的余角相等）．
在△APE与△BGA中，

∠PEA=∠GAB EA=AB ∠PAE=∠GBA

，
∴△APE≌△BGA（ASA），
∴EP=AG（全等三角形的对应边相等）．
同理，△FQA≌△AGC（ASA），
∴FQ=AG（全等三角形的对应边相等），
∴EP=FQ（等量代换）；

（3）如图4，∵EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠BGA=90°．
又∵∠EAB=90°，
∴∠PEA=∠GAB，∠PAE=∠GBA（同角的余角相等），
∴△AEP∽△BAG，
∴

EP

AG

=

AE

AB

=

1

k

（相似三角形的对应边成比例）．
同理，△FQA∽△AGC，则

FQ

AG

=

AF

AC

=

1

k

（相似三角形的对应边成比例），
∴

EP

AG

=

FQ

AG

（等量代换），
∴EP=FQ．

点评：本题考查了相似综合题．其中涉及到的知识点有旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等．旋转的性质：旋转前后的图形的大小、形状不变．