Question

情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是

AD或A′D

，∠CAC′=

90

°．

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，利用矩形性质即可得出与BC相等的线段以及∠CAC′的度数；
（2）根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．

解答：解：（1）根据将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，
∴与BC相等的线段是 AD或A′D，
∵∠C′AD=∠C，
∠C+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°
∴∠CAC′=90°；      

（2）EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，
∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴

∠EPA=∠AGB ∠PEA=∠BAG EA=AB

，
∴△ABG≌△EAP（AAS），
∴AG=EP．
同理AG=FQ． 
∴EP=FQ．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出△ABG≌△EAP是解题关键．