Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=与x轴交于两点，与y轴交于点C．

　　

(1)求n的取值范围；

(2)若，且AO＋BO=3CO，求抛物线的解析式及点A，B，C的坐标；

(3)在(2)的情形下，点P，Q分别从A，O两点同时出发，沿AB，OC方向运动，Q点运动的速度是P点运动速度的2倍，当P点运动到B点时，P，Q两点同时停止运动．设AP=k，问是否存在这样的k值，使以P，O，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出所有这样的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为抛物线y=－2n与x轴交于A(，0)，B(，0)两点， 　　所以是方程－2n=0的两个不相等的实数根． 　　所以Δ=＞0，解得n＞0． 　　(2)当n＞时，36n＞1 　　 　　所以 　　因为AO＋BO=3CO，所以，48n=，解得 　　因为=0不合题意，舍去，所以n=． 　　所以抛物线解析式为y= 　　解得=－8，=－4(因为)，所以A(－8，0)，B(－4，0)，C(0，4)． 　　(3)因为Q点运动速度是P点运动速度的2倍，所以OQ=2AP=2k(k＞0)． 　　假设存在这样的k值，使以P，O，Q为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况： 　　①Rt△POQ∽Rt△AOC(如图) 　　因为，PO=8－k，AO=8，OC=4，所以，所以k=． 　　②Rt△QOP∽Rt△AOC(如图) 　　因为 　　所以存在满足条件的k值，当或k=4时，以P，O，Q为顶点的三角形与△AOC相似．