Question

如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ=3，XZ=5，则六边形ABCDEF的面积为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：首先根据勾股定理求出XY，那么可求出三个正方形和△XYZ及△EFZ的面积，再根据已知图形可求出∠DYC=180°-∠XYZ，
∠AXB=180°-∠YXZ，那么也能求出△CDY和△ABX的面积．三个正方形和四个三角形面积的和就是六边形ABCDEF的面积

解答： 解：在Rt△XYZ中，根据勾股定理得：
XY²=YZ²+XZ²=3²+5²=34，
∴XY=

34

．
∴sin∠XYZ=

5

34

=

5 34

34

，sin∠YXZ=

3

34

=

3 34

34

，
所以得：
正方形AXZF的面积=5×5=25，
正方形DEZY的面积=3×3=9，
正方形BCYX的面积=

34

×

34

=34，
△XYZ的面积=

1

2

×3×5=

15

2

，
△EFZ的面积=

1

2

×3×5=

15

2

，
又∠AXB=360°-90°-90°-∠YXZ=180°-∠YXZ，
同理：∠DYC=180°-∠XYZ，
已知正方形AXZF、BCYX、DEZY，
∴AX=5，DY=3，BX=CY=

34

，
∴△ABX的面积=

1

2

AX•BX•sin∠AXB=

1

2

AX•BX•sin（180°-∠YXZ）
=

1

2

AX•BX•sin∠YXZ=

1

2

×2×

34

×

3 34

34

=3，
同理：△CDY的面积=

1

2

CY•DY•sin∠XYZ=

1

2

×

34

×3×

5 34

34

=

15

2

．
六边形ABCDEF的面积=正方形AXZF的面积+正方形DEZY的面积+正方形BCYX的面积+△XYZ的面积+△EFZ的面积+△ABX的面积+△CDY的面积
=25+9+34+

15

2

+

15

2

+3+

15

2

=93.5．
故答案为：93.5．

点评：本题考查了勾股定理、正方形面积和三角形面积．关键是根据勾股定理求出XY，再是表示出∠DYC=180°-∠XYZ和∠AXB=180°-∠YXZ．