Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．

（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　．

（2）如图，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）(﹣1，0)，(3，0)；（2）y＝﹣x2+x+；（3）﹣

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），即可求解；

（2）证明△CPD∽△DQB，即可求解；

（3）S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝-m，而S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB，由S1＝S2即可求解.

（1）抛物线的表达式为：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），

故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），

故答案为：（﹣1，0）、（3，0）；

（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，

设：D（1，n），点C（0，﹣3m），

∵∠CDP+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，

∴∠QDB＝∠DCP，

又∵∠CPD＝∠BQD＝90°，

∴△CPD∽△DQB，

∴,

其中：CP＝n+3m，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3m，BD＝3，

将以上数值代入比例式并解得：m＝±，

∵m＜0，故m＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；

（3）y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），

∴C（0，﹣3m），CO＝﹣3m．

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，

∴S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝﹣m，

设OD交BC于点M，

由轴对称性，BC⊥OD，OD＝2OM，

在Rt△COB中，BC＝,

由面积法得：OM＝ ,

∴tan∠COB＝＝﹣m，则cos∠COB＝,

MB＝OBcos∠COB＝,

∴S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB＝﹣ ,

又S1＝S2，

∴m2+1＝（m＜0），

故m＝﹣.