Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O₁与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C点的坐标．
（2）过点C作CD∥AB交⊙O₁于D，连接BD，求证：四边形ABDC是等腰梯形．
（3）若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据A（-1，0），O₁（1，0）从而得到OA=OO₁ 再根据O₁A=O₁C进而判定△O₁AC为等边三角形然后可以求得C点的坐标；
（2）连接AD，根据CD∥AB得到∠CDA=∠BAD，利用相等的圆周角所对的弧相等得到

AC

=

BD

，再利用相等的弧所对的弦相等得到AC=BD，从而判定四边形ABCD为等腰梯形
（3）过D作DH⊥AB于H，根据△AOC≌△BDH，四边形COHD为矩形得到CH必平分四边形ABCD的面积，从而求得点H的坐标，然后利用待定系数法求直线CH的解析式即可．

解答：解：（1）∵A（-1，0），O₁（1，0），
∴OA=OO₁  又O₁A=O₁C…1分，
∴易知△O₁AC为等边三角形…2分，
∴易求C点的坐标为（0，

3

）…3分．

（2）证明：连接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD，
∵直径AB于弦CD不等，
∴AC不平行BD，
∴四边形ABCD为等腰梯形…7分．

（3）解法一：过D作DH⊥AB于H，
∴△AOC≌△BDH，四边形COHD为矩形…8分，
∴CH必平分四边形ABCD的面积，
易求点H（2，0）…9分，
设直线CH的解析式为：y=kx+b，
则：

2k+b=0 b= 3

，
解得 

k=- 3 2 b= 3

…11分，
∴直线CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

…12分．
解法二：设直线CH平分四边形ABCD的面积，并设H（x，0），
连接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD=2，
∵S_△ACH=S_梯形CDBH，
∴

1

2

3

(x+1)=

1

2

3

[2+(3-x)]，
∴x+1=5-x，
∴x=2，
由C（0，

3

）和H（2，0），易求CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，是常见的考题之一，大多数出现在倒数第二个题目中，题目难度较大．