题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与双曲线y=- $数学公式$ 交于点A，且A点的横坐标是-2．
（1）求k的值；
（2）将直线y=kx沿y轴正方向平移10个单位，分别交x、y轴于B、C两点，D点在直线BC上，试问：在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以O、B、P、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=kx与双曲线y=- $\text{[math]}$ 交于点A，且A点的横坐标是-2．
xy=-8，
∴A点的纵坐标是4，
∴y=kx，
4=-2k，
∴k=-2；

（2）∵将直线y=kx沿y轴正方向平移10个单位，分别交x、y轴于B、C两点，D点在直线BC上，
过点D作DM⊥x轴，
∴平移后解析式为：y=-2x+10，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
假设存在点P的坐标，
∴BD=BO=PD=PO=5，
∴假设DM=2a，BM=a，
4a²+a²=25，
∴a= $\text{[math]}$ ，
∴D点坐标为：（5- $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ），
P点坐标为：（- $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）．
分类一：OB为边，取BD=OB=5，
则D点应该是以点B为圆心，以OB=5为半径，则x轴上方有一个点D₁，下方还有一个点D₂，
在BC上取点D₃，使OD=OB=5，取法：以O为圆心以OB=5为半径，交直线BC与D₃点；
分类二，OB为对角线，此时DP垂直平分OB，DP与直线BC的交点为点D₄．
可以设D（m，-2m+10）求出m，先得到D点坐标，再求点P的坐标．
故P点的坐标为：p₁（- $\text{[math]}$ ，2 $\text{[math]}$ ）．p₂（ $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ，）p₃（8，4），p₄（ $\text{[math]}$ ，-5）．
分析：（1）根据直线y=kx与双曲线y=- $\text{[math]}$ 交于点A，且A点的横坐标是-2，即可得出xy=-8，进而求出A点的纵坐标即可得出k的值；
（2）利用两直线倾斜度相同得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，进而求出即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，根据已知利用直线平移性质得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2进而得出D点坐标是解决问题的关键．