Question

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且

BD

AB

=

5

8

，求这时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）依题意可得∠BAQ=∠COA，已知AB=4，∠COA度数利用三角函数可求出BQ，AQ，OQ的值．
（2）利用相似三角形的判定证明△OCP∽△APD，根据等比性质可求出AP，OP的值．

解答：解：（1）作BQ⊥x轴于Q．
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4，
BQ=AB•sin∠BAO=4×sin60°=2

3

（1分）
AQ=AB•cos∠BAO=4×cos60°=2，（1分）
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5，2

3

）（1分）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OCP=∠APD．（1分）
∵∠COP=∠PAD，（1分）
∴△OCP∽△APD．（1分）
∴

OP

AD

=

OC

AP

．
∴OP•AP=OC•AD．（1分）
∵

BD

AB

=

5

8

，且AB=4，
∴BD=

5

8

AB=

5

2

，
AD=AB-BD=4-

5

2

=

3

2

．
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=4×

3

2

，（1分）
解得：OP=1或6．
∴点P坐标为（1，0）或（6，0）．（2分）

点评：本题综合考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形性质的运用，难度中上．