Question

△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．
（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S_△APM=

1

2

AM•PM得出y与t的函数关系式，
（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值，
（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值．

解答：解：（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°=

3

t．
∴y=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²（0≤t≤1）．
当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=

3

3

（4-t）．
y=

1

2

t•

3

3

（4-t）=-

3

6

t²+

2 3

3

t（1≤t≤3）．

（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t．
∴QN=BN•tan30°=

3

3

（3-t）．
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即

3

t=

3

3

（3-t），
∴t=

3

4

．∴当t=

3

4

s时，四边形MNQP为矩形．

（3）由（2）知，当t=

3

4

s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时

CQ

CP

=tan30°=

3

3

．
∵

AM

AP

=cos60°=

1

2

，
∴AP=2AM=2t．
∴CP=2-2t．
∵

BN

BQ

=cos30°=

3

2

，
∴BQ=

BN

3 2

=

2 3

3

（3-t）．
又∵BC=2

3

，
∴CQ=2

3

-

2 3

3

(3-t)=

2 3 t

3

．
∴

2 3 t 3

2-2t

=

3

3

，t=

1

2

．
∴当t=

1

2

s或

3

4

s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题利用了锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积公式求解，运用了数形结合的思想来解决图形变化的问题．