Question

3．正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…按如图所示的方式放置，点A₁，A₂，A₃…和点C₁，C₂，C₃…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B₁（1，1），B₂（3，2），则B₂₀₁₇的坐标是（2²⁰¹⁷-1，2²⁰¹⁶）．

Answer 1

分析 图和条件可知A₁（0，1）A₂（1，2）A₃（3，4），由此可以求出直线为y=x+1，Bn的横坐标为A_n+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又A_n的横坐标数列为An=2^n-1-1，所以纵坐标为（2^n-1），然后就可以求出Bn的坐标为A[（n+1）的横坐标，An的纵坐标]，最后根据规律就可以求出B₂₀₁₇的坐标．

解答 解：∵B₁（1，1），B₂（3，2），正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂…按如图所示的方式放置，
∴点A₁（0，1），A₂（1，2），
∵点A₁、A₂、A₃、…在直线y=kx+b（k＞0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$
解得，k=1，b=1，
∴y=x+1，
∴Bn的横坐标为A_n+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标
又∵A_n的横坐标数列为An=2^n-1-1，
∴纵坐标为2^n-1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标=（2ⁿ-1，2^n-1）．
∴B₂₀₁₇的坐标（2²⁰¹⁷-1，2²⁰¹⁶），
故答案为：（2²⁰¹⁷-1，2²⁰¹⁶）．

点评 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出各个点之间的关系，利用数形结合的思想解答问题．