Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时， 求的值；

（3）点是直线上一点，在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），，，

【解析】

（1）将，代入得出关于a，b的二元一次方程，求解即可；

（2）过点作轴的平行线，交直线与点，交轴于点，过点作轴的平行线，交直线与点，证明，得出，设，，可得出关于t的方程，解出t值，即可得出答案；

（3）分①当PC为菱形的边时，②当PC为对角线时，两种情况讨论即可．

（1）将，代入

得，解得

解析式为；

（2）当时

设直线的解析式为，将，分别代入得：

过点作轴的平行线，交直线与点，交轴于点

过点作轴的平行线，交直线与点

当时

，

轴

设，

解得：

，

在中，；

（3）设直线BC的解析式为：y=kx+b，

将B(4，0)，C(0，3)代入得，

解得，

∴直线BC的解析式为：y=x+3，

①当PC为菱形的边时，

∵四边形PQCA是菱形，

∴AQ∥PC，

可设AQ的解析式为：y=x+b1，

将点A(-1，0)代入得b1=，

∴AQ的解析式为：y=x，

∴可设Q(m，m)，

根据勾股定理得AC的长为，

根据菱形的性质可得AC=AQ，

∴=，

解得m=，

∴m1=，m2=，

将m1，m2代入y=x，

可得，；

②当PC为对角线时，

根据菱形的性质可得AQ⊥PC，

∴可设AQ的解析式为：y=x+b3，

将A(-1，0)代入得b3=，

∴AQ的解析式为：y=x+，

∴可设Q(n，n+)，

根据菱形的性质可得AC=CQ，

∴=，

解得n1=-5，n2=，

将n1，n2代入y=x+，

可得，；

综上，Q点的坐标为，，，．