Question

（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PC∥DB；
（2）当t为何值时，PC⊥BC；
（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；
（2）证△PCO∽△CBO，得出

4

3

=

PO

4

，求出OP=

16

3

即可；
（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；
②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出

4

R

=

5

3+R

，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出

4

R

=

2 5

3+R

，求出R即可．

解答：解：（1）∵D（-5，4），B（-3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，
∴DC=5，OC=4，OB=3，

∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴DC∥BP，
∵PC∥DC，
∴四边形DBPC是平行四边形，
∴DC=BP=5，
∴OP=5-3=2，
2÷1=2，
即当t为2秒时，PC∥BD；

（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，
∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，
∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，
∴∠CPO=∠BCO，
∴△PCO∽△CBO，
∴

OC

BO

=

OP

CO

，
∴

4

3

=

PO

4

，
∴OP=

16

3

，

16

3

÷1=

16

3

，
即当t为

16

3

秒时，PC⊥BC；

（3）设⊙P的半径是R，
分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，
如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，

则PM=OC=4=OP，
4÷1=4，
即t=4；
②如图2，当⊙P与BC相切时，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，
∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，
∴△COB∽△PMB，
∴

CO

PM

=

BC

BP

，
∴

4

R

=

5

3+R

，
R=12，
12÷1=12，
即t=12秒；
③根据勾股定理得：BD=

22+42

=2

5

，
如图3，当⊙P与DB相切时，

∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，
∴△ADB∽△MPB，
∴

AD

PM

=

DB

BP

，
∴

4

R

=

2 5

3+R

，
R=6

5

+12；
（6

5

+12）÷1=6

5

+12，
即t=（6

5

+12）秒．

点评：本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力．