Question

20．已知函数y=x²-2x+2在t≤x≤t+1范围内的最小值为s，写出函数s关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可知，要求其在t≤x≤t+1范围内的最小值为s，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间）讨论可得二次函数的最小值即得s的函数表达式．

解答 解：据题意可知函数为二次函数且开口向上，所以函数有最小值，即当x=-$\frac{-2}{2}$=1，y_min=1，
分情况讨论函数在闭区间在t≤x≤t+1范围内：
①当闭区间[t，t+1]（t∈R）?（-∞，1）即t＜0时，得：二次函数在x=t+1时取到最小值，
∴s=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1；
②当1∈[t，t+1]即0≤t≤1时，得x=1时，二次函数取到最小值，s=1；
③当闭区间[t，t+1]?（1，+∞）即t＞1时，得：x=t时，二次函数取到最小值，s=t²-2t+2．
综上：s=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1（t＜0）}\\{1（0≤t≤1）}\\{{t}^{2}-2t+2（t＞1）}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了二次函数的图象，解题时要根据区间与对称轴的位置进行分类讨论，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间），解题时注意总结分类讨论思想在求解本题中的作用．