Question

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，经过E作EF⊥CE交CB的延长线于F
（1） 求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=，求EF的长；
（3）若设k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明：连结PA、PB，
∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半径，
∴AC⊥PA，即∠PAC=90^。
又∵四边形PACB内接于⊙O，
∴∠PBC+∠PAC=180^。。
∴∠PBC=90^。，即PB⊥CB
又∵PB是⊙P的半径，
∴BC是⊙P的切线
（2）解：由切割线定理，得BC²=CD*CE。
∴
DE=CE-CD=4-2=2。∴PB=1
在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF=∠BCP，
∴Rt△EFC∽Rt△BPC

（3）解：存在实数k=时，△PBD为等边三角形。下面证明：


而由（1）知道

为等边三角形