题目内容

(1997•南京)已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,A为⊙O1上一点,直线AC切⊙O2于点C,且交⊙O1于点B,AP的延长线交⊙O2于点D.
(1)求证:∠BPC=∠CPD;
(2)若⊙O1半径是⊙O2半径的2倍,PD=10,AB=7
6
,求PC的长.
分析:(1)根据弦切角定理得出∠PAB=∠BPE,利用切线长定理得出EP=EC,再利用三角形的外角性质得出∠CPD=∠EPC+∠BPE,即可得出答案;
(2)首先得出△O1PA∽△O2DP,求出AP的长,进而得出BC的长,再利用△DPC∽△CPB,△APC∽△ACD,即可得出PC,CD的关系即可得出PC的长.
解答:(1)证明:如图1,过点P作两圆的公切线PE,交BC于点E,
∵⊙O1与⊙O2外切于点P,直线AC切⊙O2于点C,
∴EP=EC,∠PAB=∠BPE,
∴∠ECP=∠EPC,
又∵∠PAC+∠ACP=∠CPD,
∴∠CPD=∠EPC+∠BPE,
∴∠BPC=∠CPD;

(2)解:如图2,连接O1O2,AO1,DO2,CD,
∵∠O1PA=∠O1AP,∠O2DP=∠O2PD,∠O1PA=∠O2PD,
∴∠O1PA=∠O1AP=∠O2DP=∠O2PD,
∴△O1PA∽△O2DP,
AO1
DO2
=
AP
PD
=
2
1

∵PD=10,
∴AP=20,
∵直线AC切⊙O2于点C,
∴AC2=AP×AD=(20+10)×20=600,
∴AC=10
6

∵AB=7
6

∴BC=3
6

∵直线AC切⊙O2于点C,
∴∠PDC=∠PCB,
∵∠PDC=∠BPC,
∴△DPC∽△CPB,
BC
CD
=
PC
PD

3
6
CD
=
PC
10

∵∠CAP=∠DAC,∠PCA=∠CDA,
∴△APC∽△ACD,
AC
AD
=
PC
CD
=
10
6
30
=
6
3

∴CD=
6
2
PC,
3
6
6
2
PC
=
PC
10

解得:PC=2
15
点评:此题主要考查了圆的综合应用以及弦切角定理和相似三角形的性质和判定,根据已知得出PC与CD的比例关系是解题关键.
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