Question

8．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
（1）求证：DB=DE；
（2）过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE；
（2）只要证明AF=AD，BF=BD即可解决问题；

解答 （1）证明：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．

（2）证明：∵AF∥BE，
∴∠AFD=∠CED，
∵AD=DC，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△AFD≌△CED，
∴AF=CE=CD=AD，DF=DE=BD，
∵∠FDB=∠DBE+∠E=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD，∵AF=AD，
∴AB垂直平分DF．

点评 本题考查等边三角形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．