Question

4．如图，在等边三角形ABC中，将△ADE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处，已知∠ADE=45°．求：
（1）∠CEA′的余弦值；
（2）如果AB=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和已知得到∠AED=75°，根据翻转变换的性质得到∠A′EC=30°，利用特殊角的三角函数值解答；
（2）根据折叠的性质得到AE=A′E，利用余弦的定义用A′E表示出EC，列式计算即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，又∠ADE=45°，
∴∠AED=75°，
由折叠的性质可知，∠AEA′=150°，
∴∠A′EC=30°，
∴cos∠CEA′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由折叠的性质可知，∠ADA′=90°，
∴∠BA′D=30°，又∠DA′E=∠A=60°，
∴∠EA′C=90°，
∴EC=$\frac{A′E}{cos∠A′EC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$A′E，
由折叠的性质可知，AE=A′E，又AC=AB=6，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AE+AE=6，
解得，AE=12$\sqrt{3}$-18．

点评 本题考查的是翻转变换的性质、锐角三角函数的定义，掌握翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．