Question

点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，
（1）在图1中有几对相似三角形？请选一对加以证明．
（2）如图2，过O作OF⊥BC于点F，
①求证：△AEB∽△OFC，
②若OF=3，求AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）利用圆周角定理以及相似三角形的判定得出即可；
（2）①利用圆周角定理得出∠BAC=∠FOC，进而得出△AEB∽△OFC；
②利用相似三角形的性质得出

OF

FC

=

AD

BC

，进而得出AD的长．

解答：解：（1）△ABE∽△CDE，△ADE∽△BCE，有2对，
证明：∵∠BAC=∠BDC，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∵∠EAD=∠CBE，∠AED=∠BCE，
∴△ADE∽△BCE；

（2）①证明：连接BO，
∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠AEB=90°，∠CFO=90°，
∵OF⊥BC，
∴∠COF=

1

2

∠BOC，
∵∠BAC=

1

2

∠BOC，
∴∠BAC=∠FOC，
∴△AEB∽△OFC；
②解：由①知，△AEB∽△OFC，
∴

AE

BE

=

OF

FC

，
∵△AED∽△BEC，
∴

AE

BE

=

AD

BC

，
∴

OF

FC

=

AD

BC

，
∵BC=2FC，
∴AD=2OF=6．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，熟练利用圆周角定理得出相等的角是解题关键．