Question

8．已知：△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，判断线段CE和线段AB的位置关系，并证明；
（2）如图2，当点D在BC的延长线上，写出AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，当点D在BC的延长线上，且ED⊥BC时，CE与AD之间存在怎样的位置关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠BAD=∠CAE，从而得出△ABD≌△ACE，最后求出∠B+∠BCE=180°即可；
（2）同（1）方法判断出△ABD≌△ACE，得到BD=CE，借助图形得到CE=AC+CD．
（3）利用线段的垂直平分线的性质和判定进行推理即可．

解答 证明：（1）CE∥AB，
理由：∵∠BAD=60°-∠DAC，
∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠B+∠BCE=60°+60°+60°=180°，
∴CE∥AB，
（2）CE=AC+CD，
理由：∵∠BAD=60°+∠DAC，
∠CAE=60°+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∵BC=AC，BD=BC+CD，
∴CE=AC+CD．
（3）CE垂直平分AD，
∵ED=AE，
∴点E在AD的垂直平分线上，
∵∠EDC=90°，∠EDA=60°，
∴∠CDA=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠CDA=∠CAD，
∴AC=CD，
∴点C在AD的垂直平分线上，
∴CE垂直平分AD．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质和判定，解本题的关键是∠BAD=∠CAE．初中用判断∠BAD=∠CAE的这种方法经常出现，要求学生熟记这种方法．