Question

如图，E是矩形ABCD的边CD上的一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC的面积分别为2和8．
（1）求△OAB和四边形AOED的面积；
（2）若BE⊥AC，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据等高的三角形的面积之比等于边之比，求出OE：OB=1：4，证△OCE∽△OAB，求出△AOB的面积，求出△ADC面积，得出平行四边形的面积，即可请求出答案；
（2）设OE=x（x＞0），OB=4x，BE=5x，求出CD，根据△OCE的面积求出x即可．

解答：解：（1）∵△COE与△OBC中边EO，BO在同一直线上且此边上的高相等，
∴根据等高的三角形的面积之比等于边之比得出

S△OCE

S△OBC

=

OE

OB

=

2

8

=

1

4

，
在矩形ABCD中，
∵DC∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴

S △OCE

S△OAB

=(

OE

OB

)2=(

1

4

)2=

1

16

，
∴S_△OAB=16S_△OCB=16×2=32，
∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAB=8+32=40，
∵AB=CD，BC=DA且∠ABC=∠ADC=90°，
∴S_△ADC=S_△ABC
∴S_{四边形AOED}=S_△ADC-S_△OCE，
=40-2=38，
答：△OAB和四边形AOED的面积分别是：32，38．

（2）设OE=x（x＞0），则
OB=4x，BE=5x，
在Rt△BCE中，
∵∠BCE=90°，CA⊥BE
∴△COE∽△BOC，
∴

CO

OE

=

OB

CO

∴CO²=OE•OB=x•4x=4x²，
∴CO=2x，
∵S_△OCE=

1

2

OE•OC=2，
∴

1

2

•x•2x=2，
∴x=

2

（负值舍去），
∴BE=5x=5

2

．
答：BE的长是5

2

．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的面积，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．