Question

请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F．
求证：PE+PF=CD．
证明思路：
如图2，过点P作PG∥AB交CD于G，则四边形PGDE为矩形，PE=GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF=CG；所以PE+PF=DG+GC=DC．若P是BC延长线上任意一点，其它条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程．

Answer 1

分析：过点C作CG⊥PE于G，则四边形CGED为矩形，得到CD=EG，同理可证△PGC≌△CFP，则PF=PG，所以PE-PF=PE-PG=GE=CD．

解答：解：结论：PE-PF=CD．（2分）
证明：
过点C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°．
∴四边形CGED为矩形．（3分）
∴CD=GE，GC∥AB．
∴∠GCP=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP．
在△PFC和△PGC中，

∠F=∠CGP=90° ∠FCP=∠GCP CP=CP

，
∴△PFC≌△PGC（AAS）．（5分）
∴PF=PG．
∴PE-PF=PE-PG=GE=CD．（6分）

点评：本题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性质求解．