Question

如图所示，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知AH=3，BC=5；
（1）设DG的长为x，矩形DEFG面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域；
（2）根据（1）中所得y关于x的函数图象，求当矩形DEFG面积最大时，DG的长为多少？矩形DEFG面积是多少？

Answer 1

分析：（1）易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式；
（2）根据（1）题所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求出矩形的最大面积及对应的DG的长．

解答：解：（1）∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，（1分）
∴△ADG∽△ABC（2分）
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∴

AP

3

=

x

5

，（2分）
∴AP=

3

5

x，DE=PH=3-

3

5

x（1分）
∴y=-

3

5

x2+3x（0＜x＜5）；（2分）

（2）y=-

3

5

x2+3x=-

3

5

(x-

5

2

)2+

15

4

；（1分）
根据函数图象可知，抛物线y=-

3

5

x2+3x开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点，且x=

5

2

在函数的定义域内；（1分）
所以当DG的长为

5

2

时，矩形DEFG面积最大为

15

4

．（2分）

点评：此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识，能够根据相似三角形求出矩形的宽是解答此题的关键．