Question

如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．
求证：BH•GD=BF²
（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG=

 

．请予证明．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；
（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系．

解答：证明：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，
∴∠B=∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴

BF

DG

=

BH

DF

，
∴BH•GD=BF²；

（2）∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG，
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD，
故答案为：BD．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠DAG是解决问题的关键．