题目内容
如图13.1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（
）时，如图13.2，BD＝CF成
立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图13.3，延长BD交CF于点G.
① 求证：BD⊥CF；
② 当AB＝4，AD＝
时，求线段BG的长.
解（1）BD＝CF成立.
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=
，
∠CAF=
，
∴∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF.
∴BD＝CF.………………………………（3分）
（2）①证明：设BG交AC于点M.
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.
∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.
∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……（6分）
②过点F作FN⊥AC于点N.
∵在正方形ADEF中，AD＝
，
∴AN＝FN＝
.
∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，
∴CN＝AC－AN＝3，BC＝
.
∴在Rt△FCN中，
.
∴在Rt△ABM中，
.
∴AM＝
.
∴CM＝AC－AM＝4－＝
，
.……（9分）
∵△BMA ∽△CMG，∴
.
∴
. ∴CG＝
.……………………………………（11分）
∴在Rt△BGC中，
. ………………（12分）
练习册系列答案
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