Question

2．如图①，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
（1）图①中有2对全等三角形，并把它们写出来△ABF≌△CDE，△GBF≌△GDE；
（2）求证：BG=DG，AG=CG；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．

Answer 1

分析 （1）根据AE=CF，得到AF=CE，根据直角三角形的判定定理证明Rt△ABF≌Rt△CDE，根据AAS证明△GBF≌△GDE；
（2）根据全等三角形的性质定理证明即可；
（3）与（1）的证明方法相似，根据全等三角形的判定定理和性质定理证明．

解答 解：（1）∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFG=90°，又∠DGE=∠BGF，DE=BF，
∴△GBF≌△GDE，
故答案为：2；△ABF≌△CDE，△GBF≌△GDE；
（2）∵△GBF≌△GDE，
∴BG=DG，EG=GF，
∵AE=CF，
∴AG=CG；
（3）在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴BG=DG，
在△BFG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DEG，
∴FG=EG，
则FG+AF=EG+CE，即AG=CG．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．