Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

Answer 1

解：(1) ∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS=∠BRS=45° 在△ABC与△SBR中， ∠C=∠BRS=45°， ∠B是公共角， ∴△ABC∽△SBR (2)线段TS的长度与PA相等. ∵四边形PTEF是正方形， ∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90° 在Rt△PFA中，∠PFA +∠FPA=90°， ∴∠PFA=∠TPS， ∴Rt△PAF≌Rt△TSP， ∴PA=TS. 当点P运动到使得T与R重合时，这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等， 即有PA=TS.  由以上可知，线段ST的长度与PA相等. (3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高， ∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1， ∴PS=. 设PA的长为x，易知AF=PS，则y=PF=PA+PS， 得y=x2+()2， 即y=， 根据二次函数的性质，当x=时，y有最小值为. 如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大. 易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， ∴PA= . 如图3，当P与A重合时，得x=0. ∴x的取值范围是0≤x≤. ∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到 ∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到 ∵≤≤， ∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是