题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D为线段OC上的一点，若∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线y=x2+bx+c上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）将点A及点B的坐标代入二次函数解析式即可得出b和c的值，继而可得出函数解析式；
（2）先求出点C的坐标，根据二次函数解析式求出点P的坐标，然后可得出∠ACB=∠PCD=45°，结合∠DPC=∠BAC，可判断△ACB∽△PCD，利用相似三角形的性质求出CD，然后求出OD，即可得出点D的坐标；
（3）①当BD为平行四边形的一边时，根据平行四边形的性质可得=MN，结合点N在y轴上，可得出点M的横坐标为或-，代入函数解析式即可得出点M的坐标；
②当BD为对角线时，根据点N的横坐标为0，可得出点M的横坐标为，代入可得出点M的坐标．
解答：解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入中，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）令y=0，得，解得 x1=-1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），

∵，
∴顶点P的坐标为（1，-2）．
过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F，
易得∠ACB=∠PCD=45°，
，，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△ACB∽△PCD，
∴，
∵BC=3-（-1）=4，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
（3）①当BD为一边时，由于，此时可得点M的横坐标为或-，代入函数解析式，
可得点M的坐标为或．  
②当BD为对角线时，根据对角线互相平分，可得平行四边形的中心的坐标为（，0）
由∵点N的横坐标为0，
∴点M的横坐标为，代入函数解析式可得此时点M的坐标为．
综上可得点M的坐标为：（，-）或（-，）或（，-）．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，难度较大，难点在第二问，关键是判断出△ACB∽△PCD，求出OD的长度，第三问解答的关键之处在于分类讨论，得出点M的横坐标．
练习册系列答案
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（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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