Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S_△MBN与t的函数关系式S_△MBN=-$\frac{9}{10}$（t-1）²+$\frac{9}{10}$．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
∴A（-2，0），
把点A（-2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax²+bx+c（a≠0），得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{3}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以该抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；

（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=6-3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）．
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H．
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴$\frac{HN}{OC}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{HN}{3}$=$\frac{t}{5}$，
∴HN=$\frac{3}{5}$t．
∴S_△MBN=$\frac{1}{2}$MB•HN=$\frac{1}{2}$（6-3t）•$\frac{3}{5}$t=-$\frac{9}{10}$t²+$\frac{9}{5}$t=-$\frac{9}{10}$（t-1）²+$\frac{9}{10}$，
当△PBQ存在时，0＜t＜2，
∴当t=1时，
S_△PBQ最大=$\frac{9}{10}$．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是$\frac{9}{10}$；

（3）如图2，
在Rt△OBC中，cos∠B=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{4}{5}$．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=6-3t．
当∠MNB=90°时，cos∠B=$\frac{BN}{MB}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{t}{6-3t}$=$\frac{4}{5}$，
化简，得17t=24，解得t=$\frac{24}{17}$，
当∠BMN=90°时，cos∠B=$\frac{6-3t}{t}$=$\frac{4}{5}$，
化简，得19t=30，解得t=$\frac{30}{19}$，
综上所述：t=$\frac{24}{17}$或t=$\frac{30}{19}$时，△MBN为直角三角形．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．