Question

已知：如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（1，4）；B（3，0），以AB为直径的圆M与y轴相交于点C、D（点C在D的下方）．
（1）求直线AB的函数解析式和线段AB的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点P在以AB为直径的圆M上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（1，4）；B（3，0）代入得，
解得，
所以直线AB的解析式为y=-2x+6；
线段AB的长==2；


（2）△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
∵AB为⊙M的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
设C点坐标为（0，t），
∴BC²=（3-0）²+（0-t）²=9+t²，AC²=（1-0）²+（4-t）²=1+（4-t）²，
而AB=2，
∴9+t²+1+（4-t）²=20，
解得t₁=1，t₂=3，
∴C点坐标为（0，1），
∴BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形；


（3）如图，∵AB为⊙M的直径，
∴∠APB=90°，
∵∠BAP=∠OBC，
∴Rt△APB∽Rt△BOC，
∴==，即===，
∴PA=3，PB=，
设P点坐标为（a，b），
∴（a-1）²+（b-4）²=（3）²，（a-3）²+（b-0）²=（）²，
∴a=，b=-；a=4，b=1；
∴P点坐标为（，-）或（4，1），
设直线AP的解析式为y=mx+n，
过A（1，4）和P（，-）的解析式为y=-7x+11，把y=0代入得-7x+11=0，解得x=，则Q点坐标为（，0）；
过A（1，4）和P（4，1）的解析式为y=-x+5，把y=0代入得-x+5=0，解得x=5，则Q点坐标为（5，0）；
∴满足条件的Q点坐标为（，0）或（5，0）．
分析：（1）利用待定系数法确定直线AB的解析式；运用两点的距离公式可计算得到AB=2；
（2）由于AB为⊙M的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，设C点坐标为（0，t），根据两点的距离公式得到BC²=（3-0）²+（0-t）²，AC²=1+（4-t）²，
然后利用勾股定理得9+t²+1+（4-t）²=20，解得t₁=1，t₂=3，则C点坐标为（0，1），所以BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形；
（3）设P点坐标为（a，b），先证明Rt△APB∽Rt△BOC，利用==可计算出PA=3，PB=，再根据两点的距离公式得到（a-1）²+（b-4）²=（3）²，（a-3）²+（b-0）²=（）²，可解得a=，b=-；a=4，b=1；然后利用待定系数法确定直线AP的解析式，最后确定Q点坐标．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和待定系数法求函数的解析式；记住两点的距离公式；会运用勾股定理和三角形相似比进行几何计算．