Question

已知，如图：平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2x+c的图象与x轴分别交于点A、B，其中点B在点A的右侧，抛物线图象与y轴交于点C，且经过点D（2，3）．
（1）求c值；
（2）求直线BC的解析式；
（3）动点M在线段CB上由点C向终点B运动（点M不与点C、B重合），以OM为边在y轴右侧做正方形OMNF．设M点运动速度为

2

个单位/秒，运动时间为t．求以O、M、N、B、F为顶点的五边形面积与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）将（2，3）代入抛物线的解析式求出c的值．
（2）设BC的解析式为y=ax+b，将C、D的坐标代入，即可求得a、b的值；
（3）当OM⊥BC时，构不成五边形，因此以此为界限分类讨论，两种情况下思路一样，分别过O、N作BC的垂线，通过构造的全等三角形，来求出△BMN中BM边上的高，然后分别求正方形和三角形的面积即可．

解答：解：（1）把（2，3）代入y=-x²+2x+c中得c=3；

（2）设BC的解析式为y=ax+b，将C（0，3），B（3，0）代入y=ax+b中，
解得b=3，a=-1，故y=-x+3；

（3）当OM⊥BC时，构不成五边形，因此以此为界限分类讨论，
①当

3

2

＜t＜3时，分别过O、N作BC的垂线，垂足分别为P、Q，则△OPM≌△MQN，PM=NQ，
其中，OP=CP=

3 2

2

，CM=

2

t，CB=3

2

，
所以PM=NQ=

2

t-

3 2

2

，MB=3

2

-

2

t，OM=

PM2+OP2

=

2t2-6t+9

，
所以，正方形OMNF的面积为2t²-6t+9，△BMN的面积为

1

2

×BM×NQ=-t2+

9

2

t-

9

2

，
故五边形面积为s=t2-

3

2

t+

9

2

；
②当0＜t＜

3

2

，同理可得s=t2-

9

2

t+9（0＜t＜

3

2

）．
综上所述，s=t2-

9

2

t+9（0＜t＜

3

2

），s=t2-

3

2

t+

9

2

（

3

2

＜t＜3）．

点评：本题考查求一次函数、二次函数的解析式等知识，综合性比较强，难度较大．