Question

7．如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）．
（1）求线段AC的长．
（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（3）若边EF与边AC交于点Q，连结PQ，如图②．
①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．
②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD，在Rt△BDC中，求出CD即可．
（2）①分两种情形求解：如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．如图2中，当$\frac{25}{9}$≤t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．
②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．根据PE=PA，可得t=5-t解决问题．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．在Rt△BQD中，根据BQ²=QD²+BD²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，
∴CD=$\frac{BD}{tanC}$=$\frac{3}{3}$=1，
∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．

易知PA=t，AM=$\frac{4}{5}$t，PM=$\frac{3}{5}$t，DM=4-$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{3}{5}$t•（4-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{12}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t．

如图2中，当$\frac{25}{9}$≤t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，
∴AC=AB，
易证PB=PE=5-t，PF=$\frac{3}{4}$（5-t），PN=$\frac{4}{5}$（5-t），
S=$\frac{1}{2}$（5-t）•$\frac{3}{4}$（5-t）-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{5}$（5-t）•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{5}$（5-t）=$\frac{9}{25}$（5-t）²．

（3）①如图3中，PF交AC于G．

当S_△PFQ：S_△PEQ=1：2时，
∴S_△PEQ：S_△PEF=2：3，
∴$\frac{1}{2}$•PE•PG：$\frac{1}{2}$•PE•PF=2：3，
∴PG：PF=2：3，
∴$\frac{3}{5}$t：$\frac{3}{4}$（5-t）=2：3．
∴t=$\frac{25}{11}$，即AP=$\frac{25}{11}$．
如图4中，当S_△PFQ：S_△PEQ=2：1时，

∴S_△PEQ：S_△PEF=1：3，
∴$\frac{1}{2}$•PE•PG：$\frac{1}{2}$•PE•PF=1：3，
∴PG：PF=1：3，
∴$\frac{3}{5}$t：$\frac{3}{4}$（5-t）=1：3．
∴t=$\frac{25}{17}$，即AP=$\frac{25}{17}$，
∴AP的值为$\frac{25}{11}$或$\frac{25}{17}$．

②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．

易知四边形APEQ时菱形，
∴PE=PA，即t=5-t，
∴t=$\frac{5}{2}$．
如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四边形PENG时矩形，四边形DMEN时矩形，
∴PG=EN=$\frac{3}{5}$t，EM=DN=PE-PM=$\frac{1}{5}$（5-t），
QN=$\frac{4}{3}$EN=$\frac{4}{5}$t，
∴QD=$\frac{4}{5}$t-$\frac{1}{5}$（5-t）=t-1，
在Rt△BQD中，∵BQ²=QD²+BD²，
∴（5-t）²=3²+（t-1）²，
∴t=$\frac{15}{8}$．
综上所述，t=$\frac{15}{8}$s或$\frac{5}{2}$s时，△ABC的顶点．

点评 本题考查三角形综合题、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．