Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，由翻折变换的性质得出F、B′重合，分别延长AE，CD相交于点G，由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=5，再根据相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，进而可求出答案．
解答：如图所示，设PF⊥CD，
∵BP=FP，
由翻折变换的性质可得BP=B′P，
∴FP=B′P，
∴FP⊥CD，
∴B′，F，P三点构不成三角形，
∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AGD，
∵∠BAG=∠B′AG，
∴∠AGD=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=5，
∵PB′（PF）⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴△ACG∽△PB′G，
∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，
∴B′C==4，
∴CB′=5-4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，
∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，
∴AC：PB′=9：5，
∵AC=3，
∴PB′=．
故答案为：．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质及相似三角形的判定与性质．根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．