Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB的延长线上一点，且AB：BD=4：1，则tan∠BDC=

3

2

．

Answer 1

分析：过C作CE⊥AD，交AD于点E，可得∠CEB=90°，在直角三角形ABC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，得到BC为AB的一半，由AB：BD=4：1，设BD=x，AB=4x，则AD=BD+AB=5x，BC=2x，在直角三角形CEB中，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出EB，由EB+BD表示出ED，在直角三角形CED中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠BDC的值．

解答：解：过C作CE⊥AD，交AD于点E，可得∠CEB=90°，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，BC=

1

2

AB，
由AB：BD=4：1，设BD=x，AB=4x，则AD=BD+AB=5x，BC=2x，
在Rt△CEB中，∠ECB=30°，
可得EB=

1

2

BC=x，即ED=EB+BD=x+x=2x，
根据勾股定理得：EC=

BC2-EB2

=

3

x，
在Rt△CED中，tan∠BDC=

EC

ED

=

3 x

2x

=

3

2

．
故答案为：

3

2

点评：此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．