Question

13．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．
（1）求B，C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

Answer 1

分析 （1）由直线y=-$\frac{1}{2}$x+2即可求得B、C的坐标；
（2）待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）过C点作CM⊥EF于M，设E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），则EF=-$\frac{1}{2}$a²+2a，然后根据S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF即可得出S关于a的解析式，根据解析式的性质求得函数的最大值，进而求得E的坐标；
（4）先求得CD的长，然后根据△CDP是以CD为腰的等腰三角形，求得CP₁=DP₂=DP₃=CD，作CE⊥对称轴于E，得出EP₁=ED=2，DP₁=4，从而求得P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

解答 解：（1）令x=0，则y=-$\frac{1}{2}$x+2=2；令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$x+2，解得x=4，
所以B（4，0），C（0，2）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B的坐标代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴该二次函数的关系式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（3）如图2，过C点作CM⊥EF于M，
设E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，（0≤a≤4），
∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a）
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，（0≤a≤4），
∴a=2时，S_{四边形CDBF}的最大值为$\frac{13}{2}$；
∴E（2，1）；

（4）存在，
如图3，∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
∵C（0，2），
∴OC=2，
在RT△OCD中，由勾股定理得CD=$\frac{5}{2}$，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD，
如图所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP₁=ED=2，
∴DP₁=4，
∴P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，线段的长度，等腰三角形的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．