Question

如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，AB=a，AC=b，弦AD平分∠BAC．求AD的长（用a、b表示）．

Answer 1

分析：连接BC，BD，CD，设BC交AD于E，根据已知及相似三角形的判定得到△ABE∽△ADC，△CDE∽△ADC，根据相似比即可求得AD的长．

解答：解：连接BC，BD，CD，设BC交AD于E，
∵AB⊥AC，
∴BC经过O点．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BCD=∠CAD=∠CBD=45°．
∴BC=

a2+b2

，CD=BD=

2a2+2b2

2

．
∵∠BAE=∠DAC，∠ABE=∠ADC，
∴△ABE∽△ADC．
∴

BE

CD

=

AB

AD

．
同理，△CDE∽△ADC．
∴

CE

AC

=

CD

AD

．
∴BE•AD=AB•CD，CE•AD=AC•CD．
∴（BE+CE）•AD=（AB+AC）•CD．
∴AD=

2

2

（a+b）．

点评：本题综合考查了圆周角定理及相似三角形的判定和应用．