题目内容
如图,在⊙M中,弦AB所对的圆心角为120度,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/3/595c1157.png)
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)设点P是⊙M上的一个动点,当△PAB为Rt△PAB时,求点P的坐标.
分析:(1)连接MA,MB,根据等腰三角形的性质可知∠AMO=
AMB=60°,由直角三角形的性质可求出M点的坐标.
(2)根据△AOM与△BOM是直角三角形,∠AMO=∠BMO=60°,可求出A、B两点的坐标,因为A、B两点关于y轴对称,故此抛物线关于y轴对称,根据此特点可设出抛物线的解析式,把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值,从而求出其解析式.
(3)设P(m,n),根据P在圆上列出方程及PA2+PB2=AB2即可求解.
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(2)根据△AOM与△BOM是直角三角形,∠AMO=∠BMO=60°,可求出A、B两点的坐标,因为A、B两点关于y轴对称,故此抛物线关于y轴对称,根据此特点可设出抛物线的解析式,把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值,从而求出其解析式.
(3)设P(m,n),根据P在圆上列出方程及PA2+PB2=AB2即可求解.
解答:
解:(1)连MA,MB,如图:
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°,
∴∠BMO=
∠AMB=60°,
∴∠OBM=30°,
∴OM=
MB=1,
∴M(0,1);
(2)∵OC=MC-MO=1 OB=
=
,
∴C(0,-1)B(
,O),
∵经过A,B,C三点的抛物线关于y轴对称,
∴设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c,
把C(0,-1)和(
,0)分别代入上式,
得:a=
,c=-1,
∴y=
x2-1;
(3)连接AM并延长交圆于点P,连接PB,
∵90°的圆周角对的弦是直径,![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/3/ba666308.png)
∴∠P≠90°,
∴∠B=90°或∠A=90°,
当∠B=90°时,AP是直径,
∵弦AB所对的圆心角为120度,
∴∠P=60°,
∴∠A=30°,
∵圆的半径为2cm,
∴AP=4,
∴BP=2,
∴点P的坐标为(
,2),
同理可得:当∠A=90°时,点P的坐标为(-
,2).
∴点P的坐标为(
,2),(-
,2).
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/3/b084f785.png)
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°,
∴∠BMO=
1 |
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∴∠OBM=30°,
∴OM=
1 |
2 |
∴M(0,1);
(2)∵OC=MC-MO=1 OB=
MB2-OM2 |
3 |
∴C(0,-1)B(
3 |
∵经过A,B,C三点的抛物线关于y轴对称,
∴设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c,
把C(0,-1)和(
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得:a=
1 |
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∴y=
1 |
3 |
(3)连接AM并延长交圆于点P,连接PB,
∵90°的圆周角对的弦是直径,
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/3/ba666308.png)
∴∠P≠90°,
∴∠B=90°或∠A=90°,
当∠B=90°时,AP是直径,
∵弦AB所对的圆心角为120度,
∴∠P=60°,
∴∠A=30°,
∵圆的半径为2cm,
∴AP=4,
∴BP=2,
∴点P的坐标为(
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同理可得:当∠A=90°时,点P的坐标为(-
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∴点P的坐标为(
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点评:本题考查的是圆的性质及二次函数图象上点的坐标特点,比较复杂,但难度适中,注意细心运算.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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