Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

 

Answer 1

【答案】

（1）将B、C两点的坐标代入得……1分 

解得：       ……2分                             

所以二次函数的表达式为：     ………3分

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．

设P点坐标为（x，）， ………4分

PP交CO于E

若四边形POPC是菱形，

则有PC＝PO．        ………5分

连结PP 则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=  ∴=．

∴=       ………6分

解得=，=（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为

（，）      ………7分

（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，），    ………8分

易得，直线BC的解析式为

则Q点的坐标为（x，x－3）.

   ………9分

=

当时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积    ………10分

【解析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标