Question

4．已知，如图，抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；过点D作DE∥y轴交AC于E，则E（m，-$\frac{3}{4}$m-3），可得到当△ADC面积有最大值时，四边形BCD的面积最大值，然后列出四边形的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得此时m的取值范围；
（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．

解答 解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{3}{4}$，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3
（2）令y=0，则$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=0，解得x₁=1，x₂=-4
∴A（-4，0）、B（1，0）
令x=0，则y=-3
∴C（0，-3）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$
设D（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m-3）
过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-3，则E（m，-$\frac{3}{4}$m-3）

DE=-$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m-3）=-$\frac{3}{4}$（m+2）²+3
当m=-2时，DE有最大值为3
此时，S_△ACD有最大值为$\frac{1}{2}$×DE×4=2DE=6
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+$\frac{15}{2}$=$\frac{27}{2}$．
（3）如图所示：

①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P₁（x，-3）
∴$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=-3
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P（x，3），
∴$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=3，
解得x=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$或x=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P₂（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）或P₃（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3）
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P₁（-3，-3）或P₂（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）或P₃（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．