题目内容
如图，AB、ED是⊙O的直径，点C在ED延长线上，且∠CBD=∠FAB．点F在⊙O上，且AB⊥DF．连接AD并延长交BC于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：BD•BC=BE•CD；
（3）若⊙O 的半径为r，BC=3r，求tan∠CDG的值．
分析：（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明BC⊥AB即可；
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知
=
，即BD•BC=BE•CD；
（3）根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCG∽△BCD，即可推出DG：BD的值，即∠DBG的正切值，由∠DBG=∠CDG，即可推出∠CDG的正切值．
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知
| BD |
| EB |
| CD |
| BC |
（3）根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCG∽△BCD，即可推出DG：BD的值，即∠DBG的正切值，由∠DBG=∠CDG，即可推出∠CDG的正切值．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥DF，
∴
=
，
∴∠FAB=∠DAB；
又∵∠CBD=∠FAB，
又∵∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC．
∴
=
，
∴BD•BC=BE•CD；
（3）解：∵⊙O 的半径为r，BC=3r，
∴AB=2r，
∴
=
；
又由（1）知，BC⊥AB，
∴OC=
=
r，
∴CD=（
-1）r；
∵AO=DO（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵∠CBD=∠BAD，∠ADO=∠CDG（对顶角相等），
∴∠CDG=∠DBG，
∴△DCG∽△BCD，
∴
=
=
=
∵tan∠DBG=
=
，
∴tan∠CDG=
．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥DF，∴
 |
| BD |
|
| BF |
∴∠FAB=∠DAB；
又∵∠CBD=∠FAB，
又∵∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC．
∴
| BD |
| EB |
| CD |
| BC |
∴BD•BC=BE•CD；
（3）解：∵⊙O 的半径为r，BC=3r，
∴AB=2r，
∴
| AB |
| BC |
| 2 |
| 3 |
又由（1）知，BC⊥AB，
∴OC=
| (OB)2+BC2 |
| 10 |
∴CD=（
| 10 |
∵AO=DO（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵∠CBD=∠BAD，∠ADO=∠CDG（对顶角相等），
∴∠CDG=∠DBG，
∴△DCG∽△BCD，
∴
| CD |
| CB |
| DG |
| BD |
(
| ||
| 3r |
(
| ||
| 3 |
∵tan∠DBG=
| DG |
| BD |
(
| ||
| 3 |
∴tan∠CDG=
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于：（1）熟练运用圆周角定理，切线的性质；（2）根据（1）的结论和已知条件推出△EBC∽△BDC；（3）关键在于通过求证△DCG∽△BCD，根据对应边成比例的性质求出tan∠DBG的值．
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