题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，
cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒
cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线
经过B、P两点，过线段BP上一动点M作
轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
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解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t
∴S△OPQ＝
（0＜t＜8）
(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ
＝
＝32
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°
又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴
解得：t＝4
经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）
此时P（
，0）
∵B（
，8）且抛物线经过B、P两点，
∴抛物线是
，直线BP是：
设M（m, 
）、N(m，
)
∵M在BP上运动 ∴
∵
与
交于P、B两点且抛物线的顶点是P
∴当时，
∴
＝
∴当
时，MN有最大值是2
∴设MN与BQ交于H 点则
、
∴S△BHM＝
＝
∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝
＝3:29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．
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心算口算巧算一课一练系列答案
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．