Question

△ABC中，∠A=90°，∠A的平分线AD交BC于D，DB=3，DC=4，则△ABC内切圆的直径是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得出四边形DEAF是矩形，推出AE=ED，得出四边形DEAF是正方形，推出DE=AE=AF=DF，设DE=AE=AF=DF=a，根据△BED∽△DFC，求出BE=a，CF=a，在Rt△BAC中，由勾股定理得出（a+a）²+（a+a）²=（3+4）²，求出a=，求出AB=，AC=，设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，根据S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，得出×=R+R+7R，求出R即可．
解答：
解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠DFA=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴DE∥AC，DE=AF，
∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
即四边形DEAF是正方形，
∴DE=AE=AF=DF，
设DE=AE=AF=DF=a，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴△BED∽△DFC，
∴==，
∴==，
∴BE=a，CF=a，
在Rt△BAC中，由勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
即（a+a）²+（a+a）²=（3+4）²，
a=，
则AB=，AC=，
设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，
∴AC×AB=AC×R+BC×R+AB×R，
∴×=R+R+7R，
R=，
即直角三角形ABC的内切圆的直径是，
故选B．
点评：本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，三角形的内切圆，三角形的面积，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．